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    已知x＝，y＝，求3x2－10x2y2＋3y2的值．

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    科目：高中数学 来源：教材完全解读　高中数学　必修5(人教B版课标版) 人教B版课标版 题型：044

    已知实数x、y满足

    (1)求w＝x2＋y2的最大值、最小值；

    (2)求u＝x2＋y的最大值、最小值；

    (3)求t＝的最大值、最小值．

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    科目：高中数学 来源：学习周报　数学　北师大课标高二版(选修2－2)　2009－2010学年　第27期　总第183期 北师大课标 题型：044

    已知x＞0，y＞0，x＋2y＝1，我们可以通过下面方法求＋的最小值．

    由＋＝(＋)(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2．

    类比以上方法，求解下列问题：

    已知a，b为正常数，且a＋b＝10，x，y为正数，且＋＝1，又x＋y的最小值为18，求a，b(a＞b)的值．

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    科目：高中数学 来源：学习周报　数学　北师大课标高二版(选修1－2)　2009－2010学年　第32期　总第188期 北师大课标 题型：044

    已知x＞0，y＞0，x＋2y＝1，我们可以通过下面方法求＋的最小值．

    由＋＝(＋)(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2．

    类比以上方法，求解下列问题：

    已知a，b为正常数，且a＋b＝10，x，y为正数，且＋＝1，又x＋y的最小值为18，求a，b(a＞b)的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知定义在正实数集上的函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a>0，设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．

    (1)用a表示b；

    (2)求F(x)＝f(x)－g(x)的极值；

    (3)求b的最大值．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

    (1)求f(x)的解析式；

    (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

    【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

    (2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6

    然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

    解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

    依题意

    又f′(0)＝－3

    ∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

    (2)设切点为(x0，x03－3x0)，

    ∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

    ∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

    又切线过点A(2，m)

    ∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

    ∴m＝－2x03＋6x02－6

    令g(x)＝－2x3＋6x2－6

    则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

    由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

    ∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

    ∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2

    画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

    所以m的取值范围是(－6,2)．

     

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