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    设n∈N*，不等式组
    x＞0
    y＞0
    y≤-nx+2n
    所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
    （1）求（xn，yn）；
    （2）设数列{an}满足a1=x1，an=
    y
    2
    n
    (
    1
    y
    2
    1
    +
    1
    y
    2
    2
    +…+
    1
    y
    2
    n-1
    )，(n≥2)    ，求证：n≥2时，
    an+1
    (n+1
    )
    2
     
    -
    an
    n
    2
     
    =
    1
    n
    2
     
    ；
    （3）在（2）的条件下，比较(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )    与4的大小．
    分析：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1，从而x=1与y=-nx+2n的交点为（1，n），即所以Dn内的整点（xn，yn）为（1，n）
    （2）先化简为
    an
    n2
    =
    1
    1
    2
     
    +
    1
    2
    2
     
    +…+
    1
    (n-1
    )
    2
     
    ，两式相减即可证得
    （3）先猜想：n∈N*时，(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )＜4    ，再利用（2）的结论可以证明．
    解答：解：（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N*，所以x=1
    又x=1与y=-nx+2n的交点为（1，n），所以Dn内的整点，按由近到远排列为：
    （1，1），（1，2），…，（1，n）------------------（4分）
    （2）证明：n≥2时，an=
    y
    2
    n
    (
    1
    y
    2
    1
    +
    1
    y
    2
    2
    +…+
    1
    y
    2
    n-1
    )=n2(
    1
    1
    2
     
    +
    1
    2
    2
     
    +…+
    1
    (n-1
    )
    2
     
    )
    所以
    an
    n2
    =
    1
    1
    2
     
    +
    1
    2
    2
     
    +…+
    1
    (n-1
    )
    2
     
    ，
    an+1
    (n+1)2
    =
    1
    1
    2
     
    +
    1
    2
    2
     
    +…+
    1
    n
    2
     

    两式相减得：
    an+1
    (n+1
    )
    2
     
    -
    an
    n
    2
     
    =
    1
    n
    2
     
    ------------------（9分）
    （3）n=1时，1+
    1
    a1
    =2＜4    ，n=2时，(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )=
    5
    2
    ＜4
    可猜想：n∈N*时，(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )＜4    ------------------（11分）
    事实上n≥3时，由（2）知
    1+an
    a
     
    n+1
    =
    n2
    (n+1
    )
    2
     

    所以(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )=
    1+a1
    a1
    •
    1+a2
    a2
    •
    1+a3
    a3
    •…•
    1+an
    an

    =
    1+a1
    a1
    •
    1
    a2
    •[
    1+a2
    a3
    •
    1+a3
    a4
    •…•
    1+an-1
    an
    ]•(1+an)
    =2•
    1
    4
    •(
    2
    3
    )2•(
    3
    4
    )2•…•(
    n-1
    n
    )2•(
    n
    n+1
    )2•an+1
    =
    2an+1
    (n+1)2
    =2(
    1
    12
    +
    1
    22
    +
    1
    32
    +…+
    1
    n2
    ) …(13分)
    ＜2[1+
    1
    1×2
    +
    1
    2×3
    +…+
    1
    (n-1)×n
    ]
    =2(1+1-
    1
    2
    +
    1
    2
    -
    1
    3
    +…+
    1
    n-1
    -
    1
    n
    )＜4    -----（15分）
    点评：本题以线性规划为载体，考查数列、不等式的证明，应注意充分挖掘题目的条件，合理转化
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    （1）求(xn,yn)；

    （2）设数列{an}满足a1=x1,an=yn2(++…+)(n≥2),求证：n≥2时，；

    （3）在（2a）的条件下，比较(1+)(1+)…(1+)与4的大小.

     

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    （1）求（xn，yn）；
    （2）设数列{an}满足，求证：n≥2时，；
    （3）在（2）的条件下，比较与4的大小．

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    （1）求（xn，yn）；
    （2）设数列{an}满足，求证：n≥2时，；
    （3）在（2）的条件下，比较与4的大小．

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