Question

设n∈N^*，不等式组所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(x_n,y_n).

（1）求(x_n,y_n)；

（2）设数列{a_n}满足a₁=x₁,a_n=y_n²(++…+)(n≥2),求证：n≥2时，；

（3）在（2a）的条件下，比较(1+)(1+)…(1+)与4的大小.

 

Answer 1

解:（1）由-nx+2n＞0及x＞0得0＜x＜2，因为x∈N^*，所以x=1.

又x=1与y=-nx+2n的交点为(1,n)，所以D_n内的整点，按由近到远排列为：

（1，1），（1，2），…，(1,n).

（2）证明：n≥2时，a_n=y_n²(+…+)=n²［++…+］.

所以=++…+，=++….

两式相减得=.

（3）n=1时，1+=2＜4，n=2时，(1+)(1+)=＜4.

可猜想：n∈N^*时，(1+)(1+)…(1+)＜4,

事实上n≥3时，由（2）知.

所以(1+)(1+)…(1+)=···…·

=··(··…·)·(1+a_n)

=2··()²·()²·…·()²·()²·a_n+1

==2(+++…+)

＜2［1+++…+］=2(1+1++…+)＜4.