Question

【题目】如图，在直角梯形中，，平面外一点在平内的射影恰在边的中点上，．

（1）求证：平面平面；

（2）若在线段上，且平面，求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）推导出PQ⊥平面ABCD，PQ⊥AD，CD∥BQ，从而BQ⊥AD，进而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．

（2）连接AC与BQ交于点N，则N为AC中点，则点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的，求出三棱锥P-ABC的体积V=，PAB的面积为，设点M到平面PAB的距离为d，由VC-PAB=VP-ABC，能求出点M到平面PAB的距离．

（1）∵P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上，

∴PQ⊥平面ABCD，

∵AD平面ABCD，∴PQ⊥AD，

∵Q为线段AD中点，

∴CD∥BQ，∴BQ⊥AD，∴AD⊥平面PBQ，AD平面PAD，

∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）连接AC与BQ交于点N，则N为AC中点，

∴点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的，

在三棱锥P-ABC中，高PQ=，底面积为，

∴三棱锥P-ABC的体积V==，

又△PAB中，PA=AB=2，PB=，

∴△PAB的面积为，

设点M到平面PAB的距离为d，

由VC-PAB=VP-ABC，得=，

解得d=，

∴点M到平面PAB的距离为．