【题目】已知函数为自然对数的底数).
(1)若曲线在点(处的切线与曲线在点处的切线互相垂直,求函数在区间上的最大值;
(2)设函数,试讨论函数零点的个数.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)分别求出y=f(x)与y=g(x)在x=0处的导数,利用斜率之积等于-1求得,得到f(x)解析式,再由导数判断f(x)在区间[-1,1]上单调递减,从而求得最大值;
(2)函数在R上单调递增,仅在x=1处有一个零点,且x<1时,g(x)<0,再由导数分类判定f(x)的零点情况,则答案可求.
(1)∵f′(x)=-3x2+a,g′(x)=ex,
∴f′(0)=a,g′(0)=1,
由题意知,,f(x)在区间[-1,1]上单调递减,
∴;
(2)函数g(x)=ex-e在R上单调递增,仅在x=1处有一个零点,且x<1时,g(x)<0,
又f′(x)=-3x2+a.
①当a≤0时,f′(x)≤0,f(x)在R上单调递减,且过点(0,-),f(-1)=>0.
即f(x)在x≤0时,必有一个零点,此时y=h(x)有两个零点;
②当a>0时,令f′(x)=-3x2+a=0,解得<0,>0.
则是函数f(x)的一个极小值点,是函数f(x)的一个极大值点.
而f(-)=<0,
现在讨论极大值的情况:
f()=.
当f()<0,即a<时,函数f(x)在(0,+∞)上恒小于0,此时y=h(x)有两个零点;
当f()=0,即a=时,函数f(x)在(0,+∞)上有一个零点,,此时y=h(x)有三个零点;
当f()>0,即a>时,函数f(x)在(0,+∞)上有两个零点,一个零点小于,一个零点大于.
若f(1)=a-<0,即a<时,y=h(x)有四个零点;
f(1)=a=0,即a=时,y=h(x)有三个零点;
f(1)=a->0,即a>时,y=h(x)有两个零点.
综上所述,当a<或a>时,y=h(x)有两个零点;当a=或a=时,y=h(x)有三个零点;当<a<时,y=h(x)有四个零点.
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【题目】“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一,他在《九章算术注》中提出割圆术,并作为计算圆的周长,面积已经圆周率的基础,刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值,这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图,当分割到圆内接正六边形时,某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点,计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269,那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为(参考数据:)
A. 3.1419B. 3.1417C. 3.1415D. 3.1413
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【题目】如图所示的数表为“森德拉姆筛”(森德拉姆,东印度学者),其特点是每行每列都成等差数列.在此表中,数字“121”出现的次数为___________.
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | …… |
3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | …… |
4 | 7 | 10 | 13 | 16 | 19 | …… |
5 | 9 | 13 | 17 | 21 | 25 | …… |
6 | 11 | 16 | 21 | 26 | 31 | …… |
7 | 13 | 19 | 25 | 31 | 37 | …… |
…… | …… | …… | …… | …… | …… | …… |
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【题目】过点P(3,﹣4)作圆(x﹣1)2+y2=2的切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.x+2y﹣2=0B.x﹣2y﹣1=0C.x﹣2y﹣2=0D.x+2y+2=0
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【题目】一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络国棋比赛,每比赛一局商家要向每名棋手支付2000元对局费,同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利12100元,从两名棋手以往比赛中得知,甲每局获胜的概率为,乙每局获胜的概率为,两名棋手约定:最多下五局,先连胜两局者获胜,比赛结束,比赛结束后,商家为获胜者颁发5000元的奖金,若没有决出获胜者则各颁发2500元.
(1)求下完五局且甲获胜的概率是多少;
(2)求商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少.
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【题目】伴随着科技的迅速发展,国民对“5G”一词越来越熟悉,“5G”全称是第五代移动电话行动通信标准,也称第五代移动通信技术。2017年12月10日,工信部正式对外公布,已向中国电倌、中国移动、中国联通发放了5G系统中低频率使用许可。2019年2月18日上海虹桥火车站正式启动5G网络建设。为了了解某市市民对“5G”的关注情况,通过问卷调查等方式研究市民对该市300万人口进行统计分析,数据分析结果显示:约60%的市民“掌握一定5G知识(即问卷调查分数在80分以上)”将这部分市民称为“5G爱好者”。某机构在“5G爱好者”中随机抽取了年龄在15-45岁之间的100人按照年龄分布(如图所示),其分组区间为:,,,,,.
(1)求频率直方图中的a的值;
(2)估计全市居民中35岁以上的“5G爱好者”的人数;
(3)若该市政府制定政策:按照年龄从小到大,选拔45%的“5G爱好者”进行5G的专业知识深度培养,将当选者称成按照上述政策及频率分布直方图,估计该市“5G达人”的年龄上限.
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