【题目】一商家诚邀甲、乙两名围棋高手进行一场网络国棋比赛，每比赛一局商家要向每名棋手支付2000元对局费，同时商家每局从转让网络转播权及广告宣传中获利12100元，从两名棋手以往比赛中得知，甲每局获胜的概率为
，乙每局获胜的概率为
，两名棋手约定：最多下五局，先连胜两局者获胜，比赛结束，比赛结束后，商家为获胜者颁发5000元的奖金，若没有决出获胜者则各颁发2500元.
（1）求下完五局且甲获胜的概率是多少；
（2）求商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是多少.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据题意,连胜两局获胜.若比赛五局,且甲获胜,则五局的胜负情况为乙胜,甲胜,乙胜,甲胜,甲胜.进而由各自取胜的概率即可求解.
（2）根据题意可知,两人比赛局数
可能的取值有
.由所给取胜的概率,分别求得这四种情况下的概率,即可求得比赛局数的期望.扣除支出,即为商家获得的收益情况.
（1）根据题意,先连胜两局者获胜.则下完五局甲获胜,这五局的胜负情况分别为:
乙胜,甲胜,乙胜,甲胜,甲胜.
甲每局获胜的概率为
,乙每局获胜的概率为
所以下完五局甲获胜的概率为
（2）设为比赛的局数,
表示商家获得的收益
则
由题意可知,可能的取值有
当比赛五局时,前四局两人各胜两局,且第五局无论谁胜商家都需支付5000元,因而
所以由离散型数学期望公式可得
故
所以商家从这场网络棋赛中获得的收益的数学期望是
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【题目】已知函数f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
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【题目】某船由甲地逆水行驶到乙地，甲、乙两地相距s（km），水的流速为常量a（
），船在静水中的最大速度为b（）（
），已知船每小时的燃料费用（以元为单位）与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k，则船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？
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【题目】2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.
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【题目】圆周上有800个点，依顺时针方向标号为
，它们将圆周分成800个间隙.今选定某一点染成红色，然后按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果第
号点已被染红，则可按顺时针方向转过个间隙，再将所到达的那个端点染红.如此继续下去.试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.
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【题目】有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（ ）
A.如果四名男生必须连排在一起，那么有
种不同排法
B.如果三名女生必须连排在一起，那么有
种不同排法
C.如果女生不能站在两端，那么有
种不同排法
D.如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
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【题目】在梯形
中（图1），
， 
， 
，过
、
分别作
的垂线，垂足分别为
、
，已知
， 
，将梯形
沿
、
同侧折起，使得
， 
，得空间几何体
（图2）．
（1）证明： 
平面
；
（2）求三棱锥
的体积．
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【题目】《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，原文是：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之. 翻译为现代的语言如下：如果需要对分数进行约分，那么可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）.如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分，现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的
，
，则输出的
（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
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