【题目】已知奇函数
(1)求b的值,并求出函数的定义域
(2)若存在区间,使得
时,
的取值范围为
,求
的取值范围
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)由函数为奇函数且函数在处有意义,则
,即可求得
,再检验即可得解,然后再求函数的定义域;
(2)分类讨论函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最值,再根据方程的解的个数求的取值范围即可得解.
解:(1)由函数为奇函数,显然函数在
处有意义, 则
,则
,即
,
检验当时,
显然为奇函数,故
;
由且
,解得
,故函数的定义域为
;
(2)由,
①当时,函数
在
为减函数,
又存在区间,使得
时,
的取值范围为
,
则,
,即
,
,又
,则
,即
,不合题意,
②当时,函数
在
为增函数,
又存在区间,使得
时,
的取值范围为
,
则,
,
即在
有两个不等实数解,
即在
有两个不等实数解,
设,
,
则,则
,解得
,
又,即
,
综合①②可得:的取值范围为
.
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【题目】正三棱柱(底面是正三角形,侧棱垂直底面)的各条棱长均相等,
为
的中点.
、
分别是
、
上的动点(含端点),且满足
.当
运动时,下列结论中正确的是______ (填上所有正确命题的序号).
①平面平面
;
②三棱锥的体积为定值;
③可能为直角三角形;
④平面与平面
所成的锐二面角范围为
.
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【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段的长度为a,在线段
上取两个点
,
,使得
,以
为一边在线段
的上方做一个正六边形,然后去掉线段
,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段
作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:
记第个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为
,现给出有关数列
的四个命题:
①数列是等比数列;
②数列是递增数列;
③存在最小的正数,使得对任意的正整数
,都有
;
④存在最大的正数,使得对任意的正整数
,都有
.
其中真命题的序号是________________(请写出所有真命题的序号).
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【题目】已知函数的部分图像如图所示,考查下列说法:
①的图像关于直线
对称
②的图像关于点
对称
③若关于x的方程在上
有两个不相等的实数根,则实数
的取值范围为
④将函数的图像向右平移
个单位可得到函数
的图像
其中正确个数的是( )
A.0B.1C.2D.3
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【题目】已知双曲线C:,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若
OMN为直角三角形,则|MN|=
A. B. 3 C.
D. 4
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【题目】已知的三边长分别为
,
,
,M是AB边上的点,P是平面ABC外一点.给出下列四个命题:①若
平面ABC,则三棱锥
的四个面都是直角三角形;②若
平面ABC,且M是边AB的中点,则有
;③若
,
平面ABC,则
面积的最小值为
;④若
,P在平面ABC上的射影是
内切圆的圆心,则点P到平面ABC的距离为
.其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上)
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线
,斜率为
的直线
经过
焦点,且与
交于
两点满足
.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知线段的垂直平分线与抛物线
交于
两点,
为线段
的中点,记点
到直线
的距离为
,若
,求
的值.
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【题目】对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数.
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.已知函数g(x)=x2与h(x)=2x﹣b是定义在[0,1]上的函数.
(1)试问函数g(x)是否为G函数?并说明理由;
(2)若函数h(x)是G函数,求实数b组成的集合.
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