Question

【题目】正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，为的中点．、分别是、上的动点（含端点），且满足．当运动时，下列结论中正确的是______ (填上所有正确命题的序号)．

①平面平面；

②三棱锥的体积为定值；

③可能为直角三角形；

④平面与平面所成的锐二面角范围为．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由，得到线段一定过正方形的中心，由平面，可得平面平面；

由的面积不变，到平面的距离不变，可得三棱锥的体积为定值；

利用反证法思想说明不可能为直角三角形；

平面与平面平行时所成角为0，当与重合，与重合，平面与平面所成的锐二面角最大.

如图：

当、分别是、上的动点（含端点），且满足，则线段一定过正方形的中心，而平面，平面，可得平面平面，故①正确；

当、分别是、上的动点（含端点），过点作边上的高的长等于的长，所以的面积不变，由于平面，故点到平面的距离等于点到平面的距离，则点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值；所以②正确；

由可得: ,若为直角三角形，则一定是以为直角的直角三角形，但的最大值为，而此时，的长都大于，故不可能为直角三角形，所以③不正确；

当、分别是、的中点，平面与平面平行，所成角为0；

当与重合，与重合，平面与平面所成锐二面角最大；

延长角于，连接，则平面平面，由于为的中点，，所以，且，故在中，为中点，为中点，

在中，为中点，为中点，故，由于平面，所以平面，则，， 所以平面与平面所成锐二面角最大为，故④正确；

故答案为①②④