Question

【题目】已知椭圆:的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆相交于，两点，若，求（为坐标原点）面积的最大值及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值为，

【解析】

（1）根据椭圆的离心率和经过的点，以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，根据列方程，得到的关系式.求出面积的表达式，利用配方法求得面积的最大值，进而求得直线的方程.

（1）由题意 解得 故椭圆的方程为.

（2）因为，若直线斜率不存在，则直线过原点，

，，不能构成三角形，所以直线的斜率一定存在，

设直线的方程为，设，，

由，得，

所以，.

因为，所以，

即，

得，显然，所以.

又，得，

点到直线的距离.因为面积，

所以，

所以当时，有最大值8，即的最大值为，

此时，所以直线的方程为.