Question

【题目】已知函数，，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析

【解析】

（1）可求得，分别在、、、四种情况下讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调性；（2）将不等式转化为：，令，，利用导数求得和，可证得，从而证得结论.

（1），

①当时，

时，；时，

在上单调递增，在上单调递减

②当时，

和时，；时，

在和上单调递增，在上单调递减

③当时，

在上恒成立

在上单调递增

④当时，

和时，；时，

在和上单调递增，在上单调递减

综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减

（2）对，恒成立即为：，

等价于：

令，则

时，；时，

在上单调递减，在上单调递增

令，则

时，；时，

在上单调递增，在上单调递减

综上可得：，即在上恒成立

对，恒成立