Question

【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：

记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：

①数列是等比数列；

②数列是递增数列；

③存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有 ；

④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．

其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质，即可求解。

由题意，得图1中线段为，即；

图2中正六边形边长为，则；

图3中的最小正六边形边长为，则；

图4中的最小正六边形边长为，则；

由此类推，，

所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；

因为

，

即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，

即④正确；③错误，

综上可知正确的由②④。