Question

过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x，y），．
（Ⅰ）求y；
（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中直线AB恒过定点为F，若恒成立，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）设A（x₁，），由此推导出直线PA的方程是：y=．同理，直线PB的方程是：y=．由此能求出y．
（Ⅱ）设直线AB为y=kx+1，联立，得x²-4kx-4b=0，由此能够证明直线AB恒过定点．
（Ⅲ）由（+2，能推导出存在λ=1，使得=0．
法二：（Ⅰ）设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0），由，得到直线PA的方程是：y=kx-k²．同理可得直线PB的方程是：y=-．由此能求y．
（Ⅱ）设A（x₁，），由x²=4y，得：y′=，故k_PA=，由=0，知x₁x₂=-4．设直线AB为y=kx+1，联立，得x²-4kx-4b=0，由此能够证明直线AB恒过定点．
（Ⅲ）由A（2k，k²），B（-，），知-1），，-2），由此能推导出存在λ=1使得=0．
解答：解法（一）：（Ⅰ）设A（x₁，），
由x²=4y，得：y′=，∴k_PA=∵=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．（2分）
直线PA的方程是：y-）即y=①
同理，直线PB的方程是：y=②，（4分）
由①②得：
∴y=-1（x∈R）．（6分）
（Ⅱ）设直线AB为y=kx+1，
联立，得x²-4kx-4b=0，
∴x₁x₂=-4b=-4，
∴b=1，
∴直线AB为：y=kx+1，
∴直线AB恒过定点（0，1）．（10）
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得：-1），-1），P（，-1）=-4，
（+2，
所以=0
故存在λ=1使得=0．（14分）
解法（二）：（Ⅰ）∵直线PA、PB与抛物线相切，且=0，
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA⊥PB，
设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0）
由得：x²-4kx-4m=0．（2分）
∴△=16k²+16m=0即m=-k²
即直线PA的方程是：y=kx-k²
同理可得直线PB的方程是：y=-，（4分）
由得：，
故y=-1（x∈R）．（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，），
由x²=4y，得：y′=，∴k_PA=，∵=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．
设直线AB为y=kx+1，
联立，得x²-4kx-4b=0，
∴x₁x₂=-4b=-4，
∴b=1，
∴直线AB为：y=kx+1，
∴直线AB恒过定点（0，1）．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得：A（2k，k²），B（-，），
∴-1），，-2））．
故存在λ=1使得=0．（14分）
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．