Question

（2012•道里区二模）过抛物线x²=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P（x₀，y₀），

PA

•

PB

=0．
（Ⅰ）求y₀；
（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点；
（Ⅲ）设（Ⅱ）中直线AB恒过定点为F，若

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0恒成立，求λ的值．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）设A（x₁，

x12

4

），由此推导出直线PA的方程是：y=

x1x

2

-

x 2 1

4

．同理，直线PB的方程是：y=

x2x

2

-

x 2 2

4

．由此能求出y₀．
（Ⅱ）设直线AB为y=kx+1，联立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4b=0，由此能够证明直线AB恒过定点．
（Ⅲ）由

FA

•

FB

=x1x2+(

x 2 1

4

-1)(

x 2 2

4

-1)=-2-

x 2 1 + x 2 2

4

（

FP

)2+2，能推导出存在λ=1，使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．
法二：（Ⅰ）设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0），由

y=kx+m x2=4y

，得到直线PA的方程是：y=kx-k²．同理可得直线PB的方程是：y=-

1

k

x-

1

k2

．由此能求y₀．
（Ⅱ）设A（x₁，

x12

4

），由x²=4y，得：y′=

x

2

，故k_PA=

x1

2

，kPB=

x2

2

，由

PA

•

PB

=0，知x₁x₂=-4．设直线AB为y=kx+1，联立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4b=0，由此能够证明直线AB恒过定点．
（Ⅲ）由A（2k，k²），B（-

2

k

，

1

k2

-1），知

FA

=(2k，k2-1)，

FB

=(-

2

k

，

1

k2

-1），

FP

=(k-

1

k

，-2），由此能推导出存在λ=1使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．

解答：解法（一）：（Ⅰ）设A（x₁，

x12

4

），
由x²=4y，得：y′=

x

2

，∴k_PA=

x1

2

，kPB=

x2

2

∵

PA

•

PB

=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．（2分）
直线PA的方程是：y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1）即y=

x1x

2

-

x 2 1

4

①
同理，直线PB的方程是：y=

x2x

2

-

x 2 2

4

②，（4分）
由①②得：

x= x1+x2 2 y= x1x2 4 =-1

(x1，x2∈R)
∴y₀=-1（x∈R）．（6分）
（Ⅱ）设直线AB为y=kx+1，
联立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4b=0，
∴x₁x₂=-4b=-4，
∴b=1，
∴直线AB为：y=kx+1，
∴直线AB恒过定点（0，1）．（10）
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得：

FA

=(x1，

x 2 1

4

-1），

FB

=(x2，

x 2 2

4

-1），P（

x1+x2

2

，-1）

FP

=(

x1+x2

2

，-2)，x1x2=-4，

FA

•

FB

=x1x2+(

x 2 1

4

-1)(

x 2 2

4

-1)=-2-

x 2 1 + x 2 2

4

（

FP

)2+2，
所以

FA

•

FB

+(

FP

)2=0
故存在λ=1使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．（14分）
解法（二）：（Ⅰ）∵直线PA、PB与抛物线相切，且

PA

•

PB

=0，
∴直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且PA⊥PB，
设PA的直线方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0）
由

y=kx+m x2=4y

得：x²-4kx-4m=0．（2分）
∴△=16k²+16m=0即m=-k²
即直线PA的方程是：y=kx-k²
同理可得直线PB的方程是：y=-

1

k

x-

1

k2

，（4分）
由

y=kx-k2 y=- 1 k x- 1 k2

得：

x=k- 1 k ∈R y=-1

，
故y₀=-1（x∈R）．（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，

x12

4

），
由x²=4y，得：y′=

x

2

，∴k_PA=

x1

2

，kPB=

x2

2

，∵

PA

•

PB

=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．
设直线AB为y=kx+1，
联立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4b=0，
∴x₁x₂=-4b=-4，
∴b=1，
∴直线AB为：y=kx+1，
∴直线AB恒过定点（0，1）．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得：A（2k，k²），B（-

2

k

，

1

k2

-1），
∴

FA

=(2k，k2-1)，

FB

=(-

2

k

，

1

k2

-1），

FP

=(k-

1

k

，-2）

FA

•

FB

=-4+(k2-1)(

1

k2

-1)=-2-(k2+

1

k2

）．
故存在λ=1使得

FA

•

FB

+λ(

FP

)2=0．（14分）

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．