Question

如图，在三棱拄中，侧面，已知AA₁=2,,．

（1）求证：；
（2）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；
（3）在（2）的条件下,求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（1）见解析   （2）见解析   （3）

(I)根据线面垂直的判定定理只需证明和即可.
(2)易证,然后设CE=x,则,则,
又因为,则，在直角三角形BEB₁中根据勾股定理建立关于x的方程,解出x的值，确定E为位置.
(3)本小题可以考虑向量法.求出两个面的法向量，再求法向量的夹角，根据法向量的夹角与二面角相等或互补求二面角
（1）因为侧面，故．
在△BC₁C中，．
由余弦定理有 ．
故有 而 且平面
．…….……………4分
（2）由
从而 且 故
不妨设 ，则，则 
又 则^，
在直角三角形BEB₁中有，  从而
故为的中点时，．……………9分
法二：以为原点为轴，设，

则由得   即
．
化简整理得      或 当时与重合不满足题意
当时为的中点故为的中点使． ……….…9分
（3）取的中点，的中点，

的中点，的中点．连则，连则，
连则，连则，且为矩形，．
又． 故为所求二面角的平面角．
在中，．
．．…………15分
法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角．因为，  ．
故