Question

如图，已知A，B，C为不在同一直线上的三点，且AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁．
（1）求证：平面ABC∥平面A₁B₁C₁；
（2）若AA₁⊥平面ABC，且AC=AA₁=4，BC=3，AB=5，求证：A₁C丄平面AB₁C₁
（3）在（2）的条件下，设点P为CC₁上的动点，求当PA+PB₁取得最小值时PC的长．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定定理证明AC∥平面A₁B₁C₁，BC∥平面A₁B₁C₁，利用面面平行的判定定理证明平面ABC∥平面A₁B₁C₁；
（2）证明A₁C丄平面AB₁C₁，只需证明B₁C₁⊥A₁C，A₁C⊥AC₁；
（3）利用展开图，连结AB₁交CC₁于点P，则由平面几何的知识知，这时PA+PB₁取得最小值．

解答：（1）证明：∵AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁
∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，（1分）
∴AC∥A₁C₁，
∵AC?面A₁B₁C₁，A₁C₁?面A₁B₁C₁
∴AC∥平面A₁B₁C₁，（3分）
同理可得BC∥平面A₁B₁C₁，
又AC∩CB=C，
∴平面ABC∥平面A₁B₁C₁（4分）
（2）证明：∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面ABC，（5分）
∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC （6分）
∵平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，（7分）
∴BC⊥A₁C，
∵BC∥B₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁C
又AA₁⊥AC，AC=AA₁，得ACC₁A₁为正方形，∴A₁C⊥AC₁（8分）
又AC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁C丄平面AB₁C₁（9分）
（3）解：将三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ACC₁A₁绕侧棱CC₁旋转到与侧面BCC₁B₁在同一平面内如图示，
连结AB₁交CC₁于点P，则由平面几何的知识知，这时PA+PB₁取得最小值，（12分）
∵PC∥BB₁
∴

PC

BB1

=

AC

AB

⇒PC=

AC•BB1

AB

=

16

7

．（14分）

点评：本题考查线面、面面平行，考查线面垂直，考查侧面展开图的运用，考查学生推理论证的能力，属于中档题．