Question

已知数列{a_n}中，a1=

3

5

，an=2-

1

an-1

(n≥2，n∈N*)，数列{b_n}满足bn=

1

an-1

(n∈N*)．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}中的最大项和最小项，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：由an=2-

1

an-1

，得：a_na_n-1=2a_n-1-1，则a_n+1a_n=2a_n-1．
又bn=

1

an-1

，
∴b_n+1-b_n=

1

an+1-1

-

1

an-1

=

an-1-an+1+1

(an+1-1)(an-1)

=

an-an+1

an+1an-an+1-an+1

=

an-an+1

2an-1-an+1-an+1

=

an-an+1

an-an+1

=1．
∴数列{b_n}是等差数列；
（2）∵a1=

3

5

，b1=

1

a1-1

=

1

3 5 -1

=-

5

2

，
又数列{b_n}是公差为1的等差数列，
∴bn=b1+(n-1)d=-

5

2

+n-1=n-

7

2

，
则an=

1

bn

+1=

1

n- 7 2

+1=

2n-5

2n-7

=1+

2

2n-7

，
当n=4时，1+

2

2n-7

取最大值3，当n=3时，1+

2

2n-7

取最小值-1．
故数列{a_n}中的最大项是a₄=3，最小项是a₃=-1．