Question

设实数x、y满足y+x²=0，0＜a＜1．求证：log_a（a^x+a^y）＜log_a2+

1

8

．

Answer 1

分析：利用放缩法解决．先利用基本不等式将待证不等式的左式进行放缩，a^x+a^y≥2

ax+y

=2

ax-x2

，再利用二次函数的最值进行放缩即可得．

解答：证明：∵a^x＞0，a^y＞0，
∴a^x+a^y≥2

ax+y

=2

ax-x2

．
∵x-x²=

1

4

-（x-

1

2

）²≤

1

4

，0＜a＜1，
∴a^x+a^y≥2

a 1 4

=2a

1

8

．
∴log_a（a^x+a^y）＜log_a2a

1

8

=log_a2+

1

8

；
故原等式得证．

点评：在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候，可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A＞B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A＞C且C＞B，从而得到A＞B．我们把这种把B放大到C（或把A缩小到C）的方法称为放缩法．