Question

设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.
(1)求函数，的解析式；
(2)求函数在上的最小值；
(3)若对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

(1) .
(2) ；
（3）满足题意的的取值范围为.

试题分析：(1) 应用导数的几何意义，确定切点处的导函数值，得切线斜率，建立的方程组.
(2) 应用导数研究函数的最值，基本步骤明确，本题中由于中的不确定性，应该对其取值的不同情况加以讨论.
当时，在单调递减，单调递增，
得到.
当时，在单调递增，得到；                         
即 .
（3）构造函数，
问题转化成.
应用导数研究函数的最值，即得所求.
试题解析：(1) ，                          1分
由题意，两函数在处有相同的切线.
，
.                            3分
(2) ，由得，由得，
在单调递增，在单调递减.                  4分

当时，在单调递减，单调递增，
∴.                                         5分
当时，在单调递增，
；
                       6分
（3）令，
由题意当                  7分
∵恒成立，            8分
，              9分
，由得；由得
∴在单调递减，在单调递增                  10分
①当，即时，在单调递增，
，不满足.         11分
当，即时，由①知，，满足
.                           12分
③当，即时，在单调递减，在单调递增
，满足.
综上所述，满足题意的的取值范围为.                13分