Question

函数f(x)=2x-

a

x

的定义域为（0，1]（a＜0），
（1）若a=-1，求函数y=f（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值和最小值，并求出函数取最值时相应x的值．

Answer 1

分析：（1）a=-1时，利用基本不等式，可求函数y=f（x）的值域；
（2）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可求函数y=f（x）在x∈（0，1]上的最大值和最小值，及函数取最值时相应x的值．

解答：解：（1）a=-1时，f(x)=2x+

1

x

≥2

2

当且仅当x=

2

2

时取等号，
∴f（x）的值域为[2

2

，+∞），
（2）f′(x)=2+

a2

x2

=

2x2+a

x2

当a＜0时，f′(x)=

2(x- - a 2 )(x+ - a 2 )

x2

①当

- a 2

＜1⇒-2＜a＜0时，f′(x)=0⇒x=

- a 2

当x∈(0，

- a 2

)，f(x)单调递减，x∈(

- a 2

，1]，f(x)单调递增
∴x=

- a 2

时，f(x)min=2

-2a

，无最大值．…（8分）
②当

- a 2

≥1，f′(x)＜0，f(x)单调递减，∴a≤-2时，x=1，f（x）_min=2-a．
综上：-2＜a＜0，x=

- a 2

时，f(x)min=2

-2a

，无最大值；a≤-2时，x=1时，f（x）_min=2-a，无最大值．  …（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．