Question

已知函数f(x)=

2x-a

2x+1

是奇函数，
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）解不等式f(x)＜

3

5

．

Answer 1

分析：（1）因为该函数是奇函数且在0处有定义，那么f（0）=0，就可求出a的值．
（2）利用从部分到整体的思路去解决，先从2^x＞0出发最后得出1-

21

2x+1

的范围，即f（x）的值域．
（3）通过等价转化化简原不等式，最后两边取对数，就可解出x的范围，即不等式的解集．

解答：解：（1）由函数表达式易知：f（x）的定义域为R
∵0∈R，又函数f（x）是奇函数
∴f（0）=0，即

1-a

2

=0，∴a=1．
（2）由（1）可知f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

．
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，∴-2＜-

2

2x+1

＜0，∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．
∴f（x）的值域为（-1，1）
（3）∵f(x)=

2x-1

2x+1

∴原不等式可化为：

2x-1

2x+1

＜

3

5

，两边同乘2^x+1
  化简整理得：2^x＜4
两边同时取以2为底的对数得：x＜2
所以不等式的解集为：{x|x＜2}．

点评：本题考查了函数的奇偶性，函数求值域的一种方法，从部分到整体的方法，还有解指数不等式方法是两边取对数．