Question

已知函数f(x)=

2-x

x+1

；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x₀，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x₀；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先对函数利用分离常数的方法进行化简变形，再根据解析式与反比例函数进行比较，求出对称中心；
（2）直接利用单调减函数的定义进行证明，先在（-1，+∞）上任取两点，并规定大小关系，将它们的函数值进行作差，判定符号即可；
（3）假设存在负数x₀分别计算出函数f（x）的值域与函数3^x的值域，找两个值域之间是否存在交集，从而找出矛盾即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

2-x

x+1

=

-x-1+3

x+1

=-1+

3

x+1

∴函数f（x）的对称中心为（-1，-1）
（2）任取x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂
∵f(x1)-f(x2)=

2-x1

x1+1

-

2-x2

x2+1

=

3x2-3x1

(x1+1)(x2+1)

＞0
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数
（3）不存在
f(x)=-1+

3

x+1

，
由x₀＜0得：f（x₀）＜-1或f（x₀）＞2但0＜3x0＜1，
所以不存在．

点评：本题主要考查了函数单调性的证明与判定，以及函数恒成立问题与对称中心的求解，属于中档题．