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已知函数f(x)=
2-xx+1

(1)求出函数f(x)的对称中心;
(2)证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数;
(3)是否存在负数x0,使得f(x0)=3x0成立,若存在求出x0;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先对函数利用分离常数的方法进行化简变形,再根据解析式与反比例函数进行比较,求出对称中心;
(2)直接利用单调减函数的定义进行证明,先在(-1,+∞)上任取两点,并规定大小关系,将它们的函数值进行作差,判定符号即可;
(3)假设存在负数x0分别计算出函数f(x)的值域与函数3x的值域,找两个值域之间是否存在交集,从而找出矛盾即可.
解答:解:(1)∵f(x)=
2-x
x+1
=
-x-1+3
x+1
=-1+
3
x+1

∴函数f(x)的对称中心为(-1,-1)
(2)任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=
2-x1
x1+1
-
2-x2
x2+1
=
3x2-3x1
(x1+1)(x2+1)
>0

∴函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数
(3)不存在
f(x)=-1+
3
x+1

由x0<0得:f(x0)<-1或f(x0)>2但0<3x0<1
所以不存在.
点评:本题主要考查了函数单调性的证明与判定,以及函数恒成立问题与对称中心的求解,属于中档题.
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