Question

已知函数f(x)=

2-2cosx

+

2-2cos( 2π 3 -x)

，x∈[0，2π]，则当x=

4π

3

时，函数f（x）有最大值，最大值为

2

3

．

Answer 1

分析：先根据二倍角公式化简原函数；再根据分段函数最大值的求法，求出每一段的最大值，最后比较即可得到答案．

解答：解：∵函数f(x)=

2-2cosx

+

2-2cos( 2π 3 -x)

=

2(1-cosx)

+

2[1-cos(x- 2π 3 )

=2|sin

x

2

|+2|sin（

x

2

-

π

3

）|
=

2sin x 2 -2sin( x 2 - π 3 )      0≤x≤ 2π 3 2sin x 2 +2sin( x 2 - π 3 )       2π 3 ＜x≤2π

＜
=

2sin( x 2 + π 3 )   0≤x≤ 2π 3 2 3 sin( x 2 - π 6 )    2π 3 ＜x≤2π

．
当

x

2

+

π

3

=

π

2

⇒x=

π

3

时，y=2sin（

x

2

+

π

3

）有最大值2；
当

x

2

-

π

6

=

π

2

⇒x=

4π

3

时，y=2

3

sin（

x

2

-

π

6

）有最大值2

3

．
∴当x=

4π

3

时，函数f（x）有最大值2

3

．
故答案为：

4π

3

，2

3

．

点评：本题主要考查三角函数的化简求值以及分段函数的最值求法．分段函数的最值求法是先分段找，最后在综合即可．