Question

已知函数f(x)=2-

ax+1

(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将（4，-1）代入已知条件，即可求得a的值；
（2）可判断f（x）=2-

2x+1

在∈[-

1

2

，+∞）上减函数，f（0）•f（4）＜0，从而可判断f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）可将f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，转化为m＞

2x+1 -1

x

=

2

( 2x+1 +1)

恒成立即可．

解答：解：（1）∵点（4，-1）在函数f（x）的图象上，
∴2-

4a+1

=-1，解之得a=2…2
（2）证明：由（1）得f（x）=2-

2x+1

，定义域为x∈[-

1

2

，+∞）…3
∵y=

2x+1

在∈[-

1

2

，+∞）上是增函数，
∴f（x）=2-

2x+1

在∈[-

1

2

，+∞）上减函数，…5
又f（0）=1＞0，f（4）=-1＜0，
∴f（0）•f（4）＜0，
∴f（x）在其定义域上有且只有一个零点；…7
（3）由题意得：2-

2x+1

+mx＞1即mx＞

2x+1

-1，
∵x＞0，
∴m＞

2x+1 -1

x

…9
又

2x+1 -1

x

=

2x

x( 2x+1 +1)

=

2

( 2x+1 +1)

，
∴0＜

2

( 2x+1 +1)

＜1…11
要使原不等式对一切的正实数x均成立，只需m≥1，
∴m∈[1，+∞）…12

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查转化思想，难点在于（3）m＞

2x+1 -1

x

=

2

( 2x+1 +1)

的转化与应用，属于难题．