Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求几何体C-PBE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知异面直线PA与CD所成的角为90°，知PA⊥CD，又∠ADC=90°，直接利用线面垂直的判定可得CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PDA为二面角P-CD-A的平面角为45°，再由线面垂直的判定证明PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD．证明四边形BCDE为正方形，然后利用等积法求得几何体C-PBE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：由已知异面直线PA与CD所成的角为90°，知PA⊥CD，
又∠ADC=90°，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAD，
∴PD⊥DC，又AD⊥DC，
∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角为45°，
∵$\frac{1}{2}$AD=1，∴AD=2，
由PA⊥CD，∠PAB=90°，且直线AB与CD相交，
可得PA⊥平面ABCD，得PA⊥AD．
在Rt△PAD中，可得PA=2，
又AD∥BC，AD⊥DC，BC=CD，
∴四边形BCDE为正方形，可得${S}_{△BCE}=\frac{1}{2}$．
∴${V}_{C-PBE}={V}_{P-BCE}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．