Question

5．定义在R上的函数f（x）对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，函数f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，如果实数m，n满足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，那么m²+n²的取值范围是（　　）

• A． （9，49）
• B． （13，49）
• C． （9，25）
• D． （3，7）

Answer 1

分析 由题意可知函数单调递增，将不等式转化成f（m²-6m+21）＜f（n²-8n）=f（-n²+8n），由函数的单调性整理得：（m-3）²+（n-4）²＜4，则表示m²+n²表示的是阴影部分的点到原点的距离．

解答 解：函数f（x-1）的图象关于点（1，0）中心对称，则函数y=f（x）关于原点对称，即f（x）为奇函数；，
由f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0得f（m²-6m+21）＜f（n²-8n）=f（-n²+8n），
又由在R上f（x）对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，
∴函数y=f（x）是定义在R上的增函数，
则m²-6m+21＜-n²+8n，
∴（m-3）²+（n-4）²＜4，表示以以（3，4）为圆心，以2为半径的圆的内部，
∴实数m，n满足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，即满足（m-3）²+（n-4）²＜4，
作出图象，m²+n²表示圆内部的点到原点的距离的平方，
则圆心到原点的距离d=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴（m-3）²+（n-4）²=4内部的点到原点的距离范围（5-2，5+2），即（3，7），
∴m²+n²的取值范围（9，49），
故选A．

点评 本题考查导数的综合应用，考查函数的单调性，对称性及函数的奇偶性，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．