Question

4．数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{1}{4}{a_n}+1$，则a₁+a₃+…+a_2n-1=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{9}$）ⁿ．

Answer 1

分析 由已知得4S_n=a_n+4，4S_n-1=a_n-1+4，n≥2，两式相减，得a_n=-$\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，n≥2，当n=1时，得a₁=$\frac{4}{3}$，由此能求出a₁+a₃+…+a_2n-1的值．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{1}{4}{a_n}+1$，
∴4S_n=a_n+4，4S_n-1=a_n-1+4，n≥2，
两式相减，得：4a_n=a_n-a_n-1，n≥2，
∴a_n=-$\frac{1}{3}{a}_{n-1}$，n≥2，
当n=1时，${S}_{1}={a}_{1}=\frac{1}{4}{a}_{1}+1$，解得a₁=$\frac{4}{3}$，
∴a_n=$\frac{4}{3}（-\frac{1}{3}）^{n-1}$
∴a₁+a₃+…+a_2n-1=$\frac{\frac{4}{3}[1-（\frac{1}{9}）^{n}]}{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{9}$）ⁿ．
故答案为：$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$（$\frac{1}{9}$）ⁿ．

点评 本题考查数列的前2n-1项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．