Question

如图，已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：x=2，直线l₂：y=3tx（其中-1＜t＜1，t为常数）；若直线l₂与函数f（x）的图象以及直线l₁，l₂与函数f（x）以及的图象所围成的封闭图形如阴影所示．
（I）求y=f（x）；
（2）求阴影面积s关于t的函数y=s（t）的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知二次函数的解析式f（x）=ax²+bx+c过点（0，0），（1，0），（2，6）利用待定系数法求出a，b，c，从而求出f（x）；
（2）直线l₂：y=3tx与函数f（x）进行联立方程，求出交点，再利用定积分的集合意义及运算法则进行计算，求出阴影的面积；

解答：解：（1）由图可知二次函数的图象过点（0，0），（1，0）
则f（x）=ax（x-1），
又因为图象过点（2，6）
∴6=2a
∴a=3
∴函数f（x）的解析式为f（x）=3x（x-1）=3x²-3x
（2）由

y=3x2-3x y=3tx

得x²-（1+t）x=0，
∴x₁=0，x₂=1+t，
∵-1＜t＜1，
∴直线l₂与f（x）的图象的交点横坐标分别为0，1+t，
由定积分的几何意义知：s(t)

=∫

1+t 0

[3tx-(3x2-3x)]dx

+∫

2 1+t

[(3x2-3x)-3tx]dx
=[

3(1+t)

2

x2-x3]

|

t+1 0

+[x3-

3(1+t)

2

x2]

|

2 t+1

=（1+t）³+2-6t，（-1＜t＜1）；

点评：此题主要考查定积分的应用，考查的知识点比较全面，有一定的难度，第二问计算量比较大，是一到中档题；