Question

如图，已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：x=2，直线l₂：y=3tx（其中-1＜t＜1，t为数）；．若直线l₂与函数f（x）的图象以及直线l₁，l₂与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．
（1）求y=f（x）；  
（2）求阴影面积s关于t的函数y=s（t）的解析式；（3）若过点A（1，m），m≠4可作曲线y=s（t），t∈R的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由图象观察得到二次函数f（x）过点（0，0），（1，0），就可设出二次函数的两根式，再由图象观察得到二次函数图象还过点（2，6），代入两根式，就可求出函数f（x）的解析式．
（2）先求出二次函数与直线l₂的交点横坐标，分别为0，1+t，由定积分的几何意义可知，阴影部分的面积分成两部分，左边部分是函数y=3tx与函数y=3x²-3x的差在积分区间[0，1+t]上的定积分，右边部分是函数y=3x²-3x与函数y=3tx的差在积分区间[1+t，2]上的定积分，分别求出，再相加即可．
（3）先判断点A（1，m）在不在曲线s（t）上，因为曲线的切线斜率是曲线在切点处的导数，若过点A（1，m）可作曲线的三条切线，则曲线在切点处的导数满足3(1+x0)2-6=

(1+x0)3-6x0+2-m

x0-1

有三个实根，再利用导数判断m为何值时关于x₀方程2x₀³-6x₀+m=0有三个实根即可．

解答：解：（1）由图可知二次函数的图象过点（0，0），（1，0）
则f（x）=ax（x-1），
又因为图象过点（2，6）
∴6=2a∴a=3
∴函数f（x）的解析式为f（x）=3x（x-1）=3x²-3x
（2）由

y=3x2-3x y=3tx

得x²-（1+t）x=0，∴x₁=0，x₂=1+t，
∵-1＜t＜1，∴直线l₂与f（x）的图象的交点横坐标分别为0，1+t，
由定积分的几何意义知：s(t)=

∫

1+t 0

 [3tx-(3x2-3x)]dx+

∫

2 1+t

 [(3x2-3x)-3tx]dx
=(

3t+3

2

x2 -x3)

|

1+t 0

+(

-3t-3

2

x2 +x3)

|

2 1+t

=（1+t）³+2-6t，（-1＜t＜1）；
（3）∵曲线方程为s（t）=（1+t）³+2-6t，t∈R，∴s'（t）=3（1+t）²-6，
∴点A（1，m），m≠4不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足y₀=（1+x₀）³+2-6x₀，
∵s'（x₀）=3（1+x₀）²-6，故切线的斜率为3(1+x0)2-6=

y0-m

x0-1

=

(1+x0)3-6x0+2-m

x0-1

，
整理得2x₀³-6x₀+m=0．
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x₀方程2x₀³-6x₀+m=0有三个实根．
设g（x₀）=2x₀³-6x₀+m，则g'（x₀）=6x₀²-6，由g'（x₀）=0得x₀=±1
∵当x₀∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，g'（x₀）＞0∴g（x₀）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增，
∵当x₀∈（-1，1）时，g'（x₀）＜0，∴g（x₀）在（-1，1）上单调递减．
∴函数g（x₀）=2x₀³-6x₀+m的极值点为x₀=±1，
∴关于x₀方程2x₀³-6x₀+m=0有三个实根的充要条件是

g(-1)＞0 g(1)＜0

，即

-2-6×(-1)+m＞0 2-6+m＜0

解得-4＜m＜4，
故所求的实数m的取值范围是-4＜m＜4．

点评：本题（1）考查了待定系数法求函数解析式，（2）考察了定积分在几何中的应用；（3）考查了导数的几何意义，导数与函数的单调区间，极值的关系，属于综合题．