Question

已知三次函数f（x）=ax³-5x²+cx+d（a≠0）图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且f（x）在x=3处有极值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若当x∈（0，m）时，f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将（1，8）代入f（x）；求出导函数，据导数在切点（1，8）处的值为切线斜率列出方程；据极值点处的导数值为0，列出另一个等式，解方程组求出f（x）的解析式．
（2）求出导函数，令导函数等于0，求出根，判断出函数的单调区间，求出最小值，求出m的范围．

解答：解：（1）∵f（x）图象过点（1，8），
∴a-5+c+d=8，即a+c+d=13①
又f′（x）=3ax²-10x+c，且点（1，8）处的切线经过（3，0），
∴f′（1）=

8-0

1-3

=-4，即3a-10+c=-4，∴3a+c=6②
又∵f（x）在x=3处有极值，∴f′（3）=0，即27a+c=30③
联立①、②、③解得a=1，c=3，d=9，f（x）=x³-5x²+3x+9
（2）f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3）由f′（x）=0得x₁=

1

3

，x₂=3
当x∈（0，

1

3

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）＞f（0）=9
当x∈（

1

3

，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）＞f（3）=0．
又∵f（3）=0，
∴当m＞3时，f（x）＞0在（0，m）内不恒成立．
∴当且仅当m∈（0，3]时，f（x）＞0在（0，m）内恒成立．
所以m取值范围为（0，3]．

点评：本题考查在解决函数的切线问题时，一定注意是切点处的导数值才等于切线的斜率．在解决不等式恒成立问题时，常采用的方法是分离常数求函数的最值．