Question

16．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，给出下列四个命题：
①对角线AC₁被平面A₁BD和平面B₁ CD₁三等分；
②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1：2：3；
③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是$\frac{1}{6}$；
④正方体与以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6：π
其中正确命题的序号为①②④．

Answer 1

分析 根据正方体的几何特征，分别判断各个命题的真假，可得结论．

解答 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
故对角线AC₁=$\sqrt{3}$，
棱锥A-A₁BD的体积为：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×1×1×1=$\frac{1}{6}$．
平面A₁BD的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故A到平面A₁BD的距离为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故对角线AC₁被平面A₁BD和平面B₁ CD₁三等分，
即①正确；
正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的半径分别为：$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1：2：3，
故②正确；
以正方体的顶点为顶点的四面体的体积为$\frac{1}{6}$或$\frac{1}{3}$；
故③错误；
以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积为$\frac{1}{8}•\frac{4}{3}π$=$\frac{1}{6}$π
故正方体与以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6：π
故④正确；
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正方体的几何特征，难度中档．