Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，a∈R；命题q：实数x满足x²-x-6≤0，或x²+2x-8＞0，
（1）求命题p，q的解集；
（2）若a＜0且?p是?q的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把命题P中的不等式左边分解因式后，分a大于0，小于0，等于0三种情况讨论即可求出不等式的解集记作集合A，分别把命题q中的两个不等式的解集求出后，求出两个解集的并集得到q的解集记作集合B；
（2）根据a＜0且?p是?q的必要不充分条件得到a＜0且p是q的充分不必要条件即A是B的子集，根据包含关系得到关于a的不等式，求出解集即可得到a的范围．

解答：解：（1）由命题p得：（x-3a）（x-a）＜0，
则①当a＞0时，a＜x＜3a；②当a＜0时，3a＜x＜a；③当a=0时，x∈?
由命题q得：{x|q}={x|x²-x-6≤0或x²+2x-8＞0}={x|x²-x-6≤0}∪{x|x²+2x-8＞0}
={x|-2≤x≤3}∪{x|x＜-4或x＞2}={x|x＜-4或x≥-2}．
（2）由?p是?q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，设A=（3a，a），B=（-∞，-4）∪[-2，+∞）
∴A⊆B，∴a≤-4或3a≥-2，
又∵a＜0，
∴a≤-4或-

2

3

≤a＜0．

点评：本题以必要条件为平台考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．