Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

（1）若a=

5

2

，若p∧q假，p∨q真，求实数x的取值范围；
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=

5

2

时，可得p：

5

2

＜x＜

15

2

，由

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

可求q：2＜x≤3，结合已知可知p．q一真一假，可求
（2）?p是?q的充分不必要条件，可知?p⇒?q且?q推不出?p．结合集合的包含关系即可求解

解答：解：（1）由x²-4ax+3a²＜0得（x-3a）（x-a）＜0．
又a＞0，所以a＜x＜3a，
当a=

5

2

时，

5

2

＜x＜

15

2

即p为真命题时，实数x的取值范围是

5

2

＜x＜

15

2

由

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0

可得

-2≤x≤3 x＜-4或x＞2

即2＜x≤3．所以q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．所以实数x的取值范围是(2，

5

2

)∪(3，

15

2

)
（2）?p是?q的充分不必要条件，
即?p⇒?q且?q推不出?p．
设A={x|x≤a或x≥3a}，B={x|x≤2或x＞3}，
则A?B．所以1＜a≤2．所以实数a的取值范围是（1，2]．

点评：本题主要考查了复合命题的真假关系的应用及充分必要条件与集合之间包含关系的相互转化，解题的关键是灵活利用基本知识