Question

18．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{cx+1（0＜x＜c）}\\{{2^{-\frac{x}{c^2}}}+1（c≤x＜1）}\end{array}}\right.$满足f（c²）=$\frac{9}{8}$．则f（x）的值域为（1，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 由f（x）的定义域便可看出0＜c＜1，从而可判断0＜c²＜c，从而可求出$f（{c}^{2}）={c}^{3}+1=\frac{9}{8}$，这样便可求出c=$\frac{1}{2}$，然后根据一次函数、指数函数的单调性及单调性定义即可求出每段上f（x）的范围，然后求并集便可得出f（x）的值域．

解答 解：根据f（x）解析式看出0＜c＜1；
∴0＜c²＜c；
∴$f（{c}^{2}）=c•{c}^{2}+1=\frac{9}{8}$；
∴$c=\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+1}&{0＜x＜\frac{1}{2}}\\{{2}^{-4x}+1}&{\frac{1}{2}≤x＜1}\end{array}\right.$；
①0$＜x＜\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{2}x+1$为增函数；
∴$f（0）＜f（x）＜f（\frac{1}{2}）$；
即$1＜f（x）＜\frac{5}{4}$；
②$\frac{1}{2}≤x＜1$时，f（x）=2^-4x+1为减函数；
∴$f（1）＜f（x）≤f（\frac{1}{2}）$；
即$\frac{17}{16}＜f（x）≤\frac{5}{4}$；
∴综上得f（x）的值域为$（1，\frac{5}{4}]$．
故答案为：$（1，\frac{5}{4}]$．

点评 考查分段函数的概念，知道0＜c＜1时，c²＜c，以及一次函数、指数函数的单调性，单调性的定义，函数值域的概念，分段函数值域的求法．