Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=4，DC=DB=3，PB=PC=5，AD⊥DB．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，且AD=6，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DB，PD⊥DC，于是PD⊥平面ABCD．可得PD⊥AD，进而证明AD⊥平面PBD，即可证明．
（2）由tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，可得sin∠BDC=$\frac{3}{5}$，即可得出S_△BCD，S_△ABD，利用V_P-ABCD=$\frac{1}{3}（{S}_{△BCD}+{S}_{△ABD}）×PD$，即可得出．

解答 （1）证明：∵PD=4，DC=DB=3，PB=PC=5，∴PD²+DB²=PB²，PD²+CD²=PC²，可得PD⊥DB，PD⊥DC，又DB∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD．
∴PD⊥AD，
又AD⊥DB，PD∩DB=D．
∴AD⊥平面PBD，
∴AD⊥PB．
（2）解：∵tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，∴sin∠BDC=$\frac{3}{5}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×{3}^{2}×sin∠BDC$=$\frac{27}{10}$．
又S_△ABD=$\frac{1}{2}×6×3$=9，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}（{S}_{△BCD}+{S}_{△ABD}）×PD$=$\frac{1}{3}×（9+\frac{27}{10}）×4$=$\frac{78}{5}$．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理、线面垂直的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．