Question

3．已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}，有b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n=2a_n-1+1（n≥2）变形可知a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），利用a₄+1=16可知a_n+1=2ⁿ，进而可得结论；
（2）通过（1）知b_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n=2a_n-1+1（n≥2），
∴a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
即数列{a_n+1}是公比为2的等比数列，
又∵a₄+1=15+1=16，
∴a_n+1=16•2^n-4=2ⁿ，
∴a_n=-1+2ⁿ；
（2）由（1）知b_n=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
整理得：S_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．