Question

13．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•a_n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：由已知先求出数列的前4项由此猜想${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$，再用数学归纳法证明．
法二：由已知得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1+2{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+2$，从而{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差2的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）法一：∵数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n∈N⁺），
∴${a}_{2}=\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，
${a}_{3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+2×\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{5}$，
${a}_{4}=\frac{\frac{1}{5}}{1+2×\frac{1}{5}}$=$\frac{1}{7}$，
由此猜想${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{2×1-1}$=1，成立．
②假设当n=k时，等式成立，即${a}_{k}=\frac{1}{2k-1}$，
则当n=k+1时，a_k+1=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{1+2×\frac{1}{2k-1}}$=$\frac{1}{2k-1+2}$=$\frac{1}{2（k+1）-1}$，也成立．
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
（Ⅰ）法二：∵在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{1+2{a}_{n}}$（n∈N⁺），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1+2{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+2$，
又$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差2的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+（n-1）×2$=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（Ⅱ）∵b_n=a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．