Question

18．已知直线l：（a-2）y=（3a-1）x-1
（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．
（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）直线l方程可整理为：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；
（2）把直线转化为y=$\frac{3a-1}{a-2}$x-$\frac{1}{a-2}$，由直线不经过第二象限，得到x的系数不小于0，且常数不大于0，由此能求出实数m的取值范围，
（3）由题意可得a的范围，分别令x=0，y=0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．

解答 解：（1）直线l方程可整理为：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x-y=0}\\{-x+2y-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{5}}\\{y=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线恒过定点（$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{5}$）；
（2）∵（a-2）y=（3a-1）x-1，
∴y=$\frac{3a-1}{a-2}$x-$\frac{1}{a-2}$，
∵直线不经过第二象限，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3a-1}{a-2}≥0}\\{\frac{1}{a-2}≤0}\end{array}\right.$，
解得a＞2．
∴实数m的取值范围是（a，+∞）；
（3）由题意可知直线的斜率k=$\frac{3a-1}{a-2}$＜0，解得$\frac{1}{3}$＜a＜2，
令y=0可得x=$\frac{1}{3a-1}$，令x=0可得y=$\frac{-1}{a-2}$．
∴S_△=$\frac{1}{2}$•|$\frac{1}{3a-1}$•$\frac{-1}{a-2}$|=$\frac{1}{2}$|$\frac{1}{3{a}^{2}-7a+2}$|，
由二次函数的知识可知，当时a=$\frac{7}{6}$，三角形面积最小，
此时l的方程为：5y+15x-6=0．

点评 本题考查直线方程过定点的证明，考查直线不过第二象限时参数的取值范围的求法涉及函数最值的求解，属中档题．