Question

13．已知△ABC的面积S满足1$≤S≤\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=-2$，∠ACB=θ．
（1）求函数f（θ）=sin（$θ-\frac{π}{4}$）+4$\sqrt{2}$sinθcosθ-cos（$θ+\frac{π}{4}$）-2的最大值；
（2）若$\overrightarrow{m}$=（sin2A，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，sin2B），求|2$\overrightarrow{m}$-3$\overrightarrow{n}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得ab•cos（π-θ）=-2，结合面积范围得到θ的范围，将解析式化简求最大值；
（2）结合（1）可得θ的范围，进而可得2A+2B的范围，由三角函数的知识可得所求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}=-2$，∠ACB=θ．所以ab•cos（π-θ）=-2，①
S=$\frac{1}{2}$absinθ，②
②÷①得S=tanθ，由1≤S≤$\sqrt{3}$，得1≤tanθ≤$\sqrt{3}$，又∠ACB=θ，
∴θ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]．
所以f（θ）=sin（$θ-\frac{π}{4}$）+4$\sqrt{2}$sinθcosθ-cos（$θ+\frac{π}{4}$）-2
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+4$\sqrt{2}$sinθcosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ-2
=4$\sqrt{2}$sinθcosθ+$\sqrt{2}$sinθ-$\sqrt{2}$cosθ-2
=2$\sqrt{2}$sin2θ+2sin（$θ-\frac{π}{4}$）-2
=2$\sqrt{2}$cos2（$θ-\frac{π}{4}$）+2sin（$θ-\frac{π}{4}$）-2
=2$\sqrt{2}$[1-2sin²（$θ-\frac{π}{4}$）]+2sin（$θ-\frac{π}{4}$）-2
=-4$\sqrt{2}$[sin（$θ-\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{8}$]²-2+$\frac{\sqrt{2}}{8}$；
θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，所以θ-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{π}{12}$]．所以sin（$θ-\frac{π}{4}$）∈[0，$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$]，所以f（θ）=sin（$θ-\frac{π}{4}$）+4$\sqrt{2}$sinθcosθ-cos（$θ+\frac{π}{4}$）-2的最大值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；
（2）$\overrightarrow{m}$=（sin2A，cos2A），$\overrightarrow{n}$=（cos2B，sin2B），
|2$\overrightarrow{m}$-3$\overrightarrow{n}$|²=4${\overrightarrow{m}}^{2}$+9${\overrightarrow{n}}^{2}$-12$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=13-12（sin2Acos2B+cos2Asin2B）=13-12sin（2A+2B），其中θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，所以A+B∈[$\frac{2π}{3}，\frac{3π}{4}$]，2A+2B∈[$\frac{4π}{3}，\frac{6π}{4}$]，所以|2$\overrightarrow{m}$-3$\overrightarrow{n}$|的取值范围为[13+6$\sqrt{3}$，25]．

点评 本题考查余弦定理以及三角函数的值域，涉及平面向量数量积的定义、三角函数的有界性等知识，比较综合．