Question

17．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{3x+4y≤12}\end{array}\right.$表示的平面区域为D．
（1）求区域D的面积；
（2）若（x，y）∈D，求（x-2）²+（y-2）²的最小值．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域．
（1）直接由三角形的面积公式得答案；
（2）由（x-2）²+（y-2）²的几何意义，即可行域内的动点与定点P（2，2）距离的平方，结合点到直线的距离公式求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{3x+4y≤12}\end{array}\right.$作出可行域如图，

（1）直线3x+4y=12在x、y轴上的截距分别为4、3，
∴区域D的面积为${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×4×3=6$；
（2）（x-2）²+（y-2）²的几何意义为可行域内的动点与定点P（2，2）距离的平方，
由点到直线的距离公式可得P到直线3x+4y=12的距离为$\frac{|3×2+4×2-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{2}{5}$，
∴（x-2）²+（y-2）²的最小值为$\frac{4}{25}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．