Question

关于x的方程：（x²-1）²-|x²-1|+k=0，给出下列四个命题，其中真命题的个数有
（1）存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
（2）存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
（3）存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
（4）存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．
解答：关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化为（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
当k=-2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根
当k=时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，
即原方程恰有4个不同的实根
当k=0时，方程（1）的解为-1，+1，±，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根
当k=时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，
即原方程恰有8个不同的实根
∴四个命题都是真命题
故选D．
点评：本题主要考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．