Question

（2012•上饶一模）关于x的方程：（x²-1）²-|x²-1|+k=0，给出下列四个命题，其中真命题的个数有（　　）
（1）存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
（2）存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
（3）存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
（4）存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：将方程根的问题转化成函数图象的问题，画出函数图象，结合图象可得结论．

解答：解：关于x的方程（x²-1）²-|x²-1|+k=0可化为（x²-1）²-（x²-1）+k=0（x≥1或x≤-1）（1）
或（x²-1）²+（x²-1）+k=0（-1＜x＜1）（2）
当k=-2时，方程（1）的解为±

3

，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根
当k=

1

4

时，方程（1）有两个不同的实根±

6

2

，方程（2）有两个不同的实根±

2

2

，
即原方程恰有4个不同的实根
当k=0时，方程（1）的解为-1，+1，±

2

，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根
当k=

2

9

时，方程（1）的解为±

15

3

，±

2 3

3

，方程（2）的解为±

3

3

，±

6

3

，
即原方程恰有8个不同的实根
∴四个命题都是真命题
故选D．

点评：本题主要考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．