Question

某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是

2

3

，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，ξ服从超几何分布，η～B(3，

2

3

)，利用数学期望的计算公式即可得出；
（Ⅱ）分别从做对题的数学期望、从至少完成两题的概率上考查即可．

解答：解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η，则ξ=1、2、3，η=0、1、2、3．
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（ξ=3）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

．
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
∴Eξ=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．
∵η～B(3，

2

3

)，所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
P（η=k）=

C

k 3

(

2

3

)k(1-

2

3

)3-k（k=0，1，2，3），
∴Eη=3×

2

3

=2．
（Ⅱ）∵P（ξ≥2）=

3

5

+

1

5

=

4

5

，P（η≥2）=

12

27

+

8

27

=

20

27

．
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2），
从做对题的数学期望上甲乙两人水平相当；从至少完成两题的概率上看，甲通过的可能性比较大，因此可以判断甲的实验操作能力强．

点评：熟练掌握超几何分别、二项分布、数学期望是解题的关键．