Question

知二次函数f（x）满足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），且该函数的图象与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为，求该二次函数解析式为________．

Answer 1

f（x）=
分析：先设出二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的表达式，再利用其对称性、与y轴交于点（0，1）及在x轴上截得的线段长为，可列出关于a、b、c一个方程组，解出即可．
解答：设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
∵二次函数f（x）满足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），可知该二次函数关于直线x=-2对称，∴，即b=4a．
∵该函数的图象与y轴交于点（0，1），∴f（0）=1，即c=1．
设二次函数f（x）=ax²+bx+c与x轴相较于点（x₁，0），（x₂，0）．
令f（x）=ax²+bx+c=0，则，．
∵此二次函数的图象在x轴上截得的线段长为，
∴，即=．
∴，即b²-4ac=8a²．
联立．解得．
∴f（x）=．
点评：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．