Question

已知二次函数f（x）满足f（x-3）=f（-x-3），且该函数的图象与y轴交于点（0，-1），在x轴上截得的线段长为2

6

．
（1）确定该二次函数的解析式；
（2）当x∈[-6，-1]时，求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=ax²+b+c（a≠0），利用题中的条件求出a、b、c的值，即可得到函数的解析式．
（2）由于二次函数f(x)=-

1

3

x2-2x-1的对称轴为 x=-3，且定义域为[-6，-1]，利用二次函数的性质求得函数的值域．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+b+c（a≠0），∵f（x）过点（0，-1），∴c=-1①．…（1分）
又f（x-3）=f（-x-3），∴f（x）对称轴x=-

b

2a

=-3②．…（4分）
又|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( b a )2- 4c a

=2

6

③，…（7分）
由①②③式得a=-

1

3

，b=-2，c=-1，
∴f(x)=-

1

3

x2-2x-1．…（8分）
（2）由于二次函数f(x)=-

1

3

x2-2x-1的对称轴为 x=-3，x∈[-6，-1]，
故当x=-6时，y_min=-1，当x=-3时，y_max=2，
∴函数的值域为[-1，2]．…（12分）

点评：本题主要考查二次函数的性质应用，用待定系数法求函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．