Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），且与x轴有唯一的交点（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，记此函数的最小值为g（k），求g（k）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意得c=1，-

b

2a

=-1，b²-4ac=0，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-k）x+1，对称轴为x=

k-2

2

，图象开口向上当

k-2

2

≤-2时，F（x）在[-2，2]上单调递增，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（-2）=2k+1，当-2＜

k-2

2

≤2时，F（x）在[-2，

k-2

2

]上递减，在[

k-2

2

，2]上递增此时函数F（x）的最小值g(k)=F(

k-2

2

)=-

k_-4k

4

；当

k-2

2

＞2即k＞6时，F（x）在[-2，2]上单调递减，此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k．由此能求出结果．

解答：解：（Ⅰ）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1），
且与x轴有唯一的交点（-1，0）．
∴c=1，-

b

2a

=-1，b²-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
从而f（x）=x²+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-k）x+1，对称轴为x=

k-2

2

，图象开口向上
当

k-2

2

≤-2即k≤-2时，F（x）在[-2，2]上单调递增，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（-2）=2k+1
当-2＜

k-2

2

≤2即-2＜k≤6时，F（x）在[-2，

k-2

2

]上递减，在[

k-2

2

，2]上递增
此时函数F（x）的最小值g(k)=F(

k-2

2

)=-

k2-4k

4

；
当

k-2

2

＞2即k＞6时，F（x）在[-2，2]上单调递减，
此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k；
综上，函数F（x）的最小值g（k）=

2k+1，k≤-2 - k2-4k 4 ，-2＜k≤6 9-2k，k＞6

．

点评：本题考查二次函数的性质和综合运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．