Question

已知二次函数f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）若记区间[a，b]的长度为b-a．问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t？请对你所得的结论给出证明．

Answer 1

分析：（1）根据解析式判断f（x）在区间[-1，1]上递减，由函数零点的几何意义知f（-1）≥，f（1）≤0，再代入方程后求不等式得解集，即是p的范围；
（2）先假设存在常数t（t≥0）满足题意，根据对称轴和区间[t，10]的关系进行分类，再根据每种情况中的二次函数图象求出函数的值域，利用区间长度求出t的值，注意验证是否在确定的范围内．

解答：（1）解：∵函数f（x）=x²-16x+q+3在区间[-1，1]上单调递减，
∴函数在区间[-1，1]上存在零点可得，

f(-1)≥0 f(1)≤0

即

20+q≥0 -12+q≤0

∴-20≤q≤12
（2）证明：假设存在常数t（t≥0）满足题意，分三种情况求解：
①当

0≤t≤8 8-t≥10-8

，即0≤t≤6时，
当x=8时，取到最小值f（8）；当x=t时，取到最大值f（t），
∴f（x）的值域为：[f（8），f（t）]，
∴区间长度为t²-16t+P+3-（p-61）=t²-16t+64=12-t．
∴t²-15t+52=0，
∴t=

15- 17

2

，t=

15+ 17

2

（舍）
②当

0≤t≤8 8-t＜10-8

即6≤t＜8时，D=[f（8），f（10）]=[p-61，p-57]
∴区间长度为p-57-（p-61）=4=12-t，
∴t=8．经检验t=8不合题意，舍去．
③当t≥8时，函数f（x）在[q，10]上单调递增，
∴f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t²-16t+p+3，p-57]．
∴区间长度为p-57-（t²-16t+p+3）=-t²-16t-60=12-t，
∴t²-17t+72=0，
∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意．
综上知，存在常数t=8或t=9，或t=

15- 17

2

时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t

点评：本题考查了函数零点的几何意义和在给定区间上求二次函数的值域，特别是区间含有参数时，要讨论对称轴和区间的位置关系并由此进行分类，是综合性强和计算量大的题．