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    设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=m，求证
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    ≥
    9
    m
    .
    分析：根据基本不等式的性质可分别求得a1+a2+a3和
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    的最小值，两式相乘即可求得(
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    )•m    的最小值，整理后原式得证．
    解答：证明：∵(
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    )•m    =(a1+a2+a3)(
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    )    ≥3
    3a1•a2•a3
    •3
    3
    1
    a1
    •
    1
    a2
    •
    1
    a3
    =9    ，
    当且仅当a1=a2=a3=
    m
    3
    时等号成立．
    又∵m=a1+a2+a3＞0，
    ∴
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    ≥
    9
    m
    .
    点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的时候要特别注意等号成立的条件．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    选修4-5：不等式选讲
    （I）已知|x1-2|＜1，|x2-2|＜1．求证：2＜x1-x2＜6，|x1-x2|＜2．
    （II）设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=k，求证：
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    ≥
    9
    k
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选做题：不等式选讲
    （Ⅰ） 设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=m，求证
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    ≥
    9
    m
    ．
    （Ⅱ） 已知a，b都是正数，x，y∈R，且a+b=1，求证：ax2+by2≥（ax+by）2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
    A．（几何证明选讲）
    如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
    B．（矩阵与变换）
    已知矩阵
    12
    2a
    的属于特征值b的一个特征向量为
    1
    1
    ，求实数a、b的值．
    C．（极坐标与参数方程）
    在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
    x=2pt2
    y=2pt
    （t为参数，p为正常数），求p的值．
    D．（不等式选讲）
    设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证：
    1
    a1
    +
    1
    a2
    +
    1
    a3
    ≥9    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•盐城二模）选修4-5：不等式选讲：
    设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=m．求证：
    1
    a1+a2
    +
    1
    a2+a3
    +
    1
    a3+a1
    ≥
    9
    2m
    ．

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