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选作题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(几何证明选讲)
如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,求BC的长.
B.(矩阵与变换)
已知矩阵
12
2a
的属于特征值b的一个特征向量为
1
1
,求实数a、b的值.
C.(极坐标与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,-2)在曲线
x=2pt2
y=2pt
(t为参数,p为正常数),求p的值.
D.(不等式选讲)
设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=1,求证:
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9
分析:A、连接OD,则OD⊥DC,先确定∠ODE=30°,再在Rt△ODC中,可求BC的长;
B.根据二阶矩阵的特征值与特征向量的概念,建立方程组,即可求得结论;
C.化参数方程为普通方程,将点A(1,-2)代入,即可求得p的值;
D.a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=1>0,利用基本不等式即可证明.
解答:A、解:连接OD,则OD⊥DC,
在Rt△OED中,OE=
1
2
OB=
1
2
OD,所以∠ODE=30°,
在Rt△ODC中,∠DCO=30°,由DC=2得OD=DCtan30°=
2
3
3

所以BC=
2
3
3

B.解:由二阶矩阵的特征值与特征向量的概念知
12
2a
1
1
=b
1
1

所以
b=3
b=a+2
,解得a=1,b=3.
C.解:由
x=2pt2
y=2pt
(t为参数,p为正常数),消去参数t得y2=2px,将点A(1,-2)代入y2=2px得p=2.

D.证明:因为a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=1>0,
所以
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
=(a1+a2+a3)(
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
)
≥3(a1a2a3)
1
3
•3(
1
a1
1
a2
1
a3
)
1
3
=9

当且仅当a1=a2=a3=
1
3
时等号成立,
所以
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9
点评:本题是选考内容.A.主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证、运算求解能力;B\主要考查二阶矩阵的特征值与特征向量,考查运算求解能力;C主要考查参数方程,考查运算求解能力;D主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

选作题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(几何证明选讲)
如图,已知两圆交于A、B两点,过点A、B的直线分别与两圆交于P、Q和M、N.求证:PM∥QN.
B.(矩阵与变换)
已知矩阵A的逆矩阵A-1=
10
02
,求矩阵A.
C.(极坐标与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中,过椭圆
x2
12
+
y2
4
=1
在第一象限处的一点P(x,y)分别作x轴、y轴的两条垂线,垂足分别为M、N,求矩形PMON周长最大值时点P的坐标.
D.(不等式选讲)
已知关于x的不等式|x-a|+1-x>0的解集为R,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2010年高考试题(江苏版)解析版 题型:解答题

 [选做题]本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题并在相应的答题区域内作答。若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A. 选修4-1:几何证明选讲

 

AB是圆O的直径,D为圆O上一点,过D作圆O的切线交AB延长线于点C,若DA=DC,求证:AB=2BC。

B. 选修4-2:矩阵与变换

 

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设k为非零实数,矩阵M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值。

C. 选修4-4:坐标系与参数方程

 

在极坐标系中,已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求实数a的值。

 

D. 选修4-5:不等式选讲

 

设a、b是非负实数,求证:

 

[必做题]第22题、第23题,每题10分,共计20分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

 

 

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科目:高中数学 来源:2012年江苏省南通市教研室高考数学全真模拟试卷(四)(解析版) 题型:解答题

选作题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(几何证明选讲)
如图,已知两圆交于A、B两点,过点A、B的直线分别与两圆交于P、Q和M、N.求证:PM∥QN.
B.(矩阵与变换)
已知矩阵A的逆矩阵A-1=,求矩阵A.
C.(极坐标与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中,过椭圆在第一象限处的一点P(x,y)分别作x轴、y轴的两条垂线,垂足分别为M、N,求矩形PMON周长最大值时点P的坐标.
D.(不等式选讲)
已知关于x的不等式|x-a|+1-x>0的解集为R,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2012年江苏省南通市教研室高考数学全真模拟试卷(一)(解析版) 题型:解答题

选作题,本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(几何证明选讲)
如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,求BC的长.
B.(矩阵与变换)
已知矩阵的属于特征值b的一个特征向量为,求实数a、b的值.
C.(极坐标与参数方程)
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,-2)在曲线(t为参数,p为正常数),求p的值.
D.(不等式选讲)
设a1,a2,a3均为正数,且a1+a2+a3=1,求证:

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