Question

已知动点P（x，y）与两个定点M（-1，0），N（1，0）的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，对于平面上的定点，试探究轨迹C上是否存在点P，使得∠EPF=120°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解、（1）由题设可知；PM，PN的斜率存在且不为0，
则由k_PM•k_PN=λ得：，即．
所以动点P的轨迹C的方程为；
（2）讨论如下：
①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）
②当-1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=-1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆（除去点（-1，0），（1，0））
④当λ＜-1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴两个端点）；
（3）当λ=2时，轨迹C的方程为，显然定点E、F为其左右焦点．
假设存在这样的点P，使得∠EPF=120°，记∠EPF=θ，
设PE=m，PF=n，EF=，
那么在△EPF中：由|m-n|=2，得m²+n²-2mn=4，
，
两式联立得：2mn（1-cosθ）=8，所以=．


再设P（x_P，y_P）
又因为
所以故代入椭圆的方程可得：
所以，所以满足题意的点P有四个，坐标分别为：，，，．
分析：（1）写出过PM与PN的直线的斜率，直接利用斜率之积等于常数λ（λ≠0）求出动点P的轨迹C的方程；
（2）根据λ的不同取值，结合圆锥曲线的标准方程逐一讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，且判出E，F恰为双曲线的两个焦点，假设点P存在，结合正余弦定理，利用三角形PEF的面积相等求解P点的坐标．
点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系，训练了分类讨论的数学思想方法，涉及圆锥曲线上的一点和圆锥曲线两个焦点连线的问题，结合正余弦定理及圆锥曲线的定义进行求解是常用的方法，此题是中档题．