Question

已知（

x

-

1

2 4 x

）ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）证明：展开式中没有常数项；
（2）求展开式中所有有理项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出前三项的系数，列出方程求出n，再利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0得到常数项，方程无解，得证．
（2）令展开式中的x的指数为有理数，求出k值，再求出相应的有理项．

解答：解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C¹_n（

1

2

），C²_n（

1

2

）²，
且2C¹_n•

1

2

=1+C²_n（

1

2

）²，
即n²-9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），
∴展开式的第k+1项为C^k₈（

x

）^8-k（-

1

2 4 x

）^k
=（-

1

2

）^kC^k₈•x

8-k

2

•x-

k

4

=（-1）^k•C^k₈•x

16-3k

4

．
（1）证明：若第k+1项为常数项，
当且仅当

16-3k

4

=0，即3k=16，
∵k∈Z，∴这不可能，∴展开式中没有常数项．
（2）若第k+1项为有理项，当且仅当

16-3k

4

为整数，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．